Формулу числа Пи обнаружили в атоме водорода

 Ещё четыре тысячи лет назад древние геометры заметили, что отношение длины окружности к её диаметру всегда одинаково (так, если диаметр колеса принять за единицу, то его окружность будет составлять число ∏). 360 лет назад британский математик Джон Валлис впервые записал число Пи в виде произведения бесконечного ряда коэффициентов. Теперь исследователи из Университета Рочестера, к своему удивлению, обнаружили ту же формулу в квантово-механических расчётах энергетических уровней атома водорода.

В квантовой механике для оценки энергетических состояний различных квантовых систем, которые не могут быть установлены точно, используется так называемый вариационной подход. Профессор Карл Хаген (Carl Hagen) знакомил с этой техникой своих студентов и в качестве примера решил применить её к атому водорода.

Объект был выбран неслучайно. Как известно, атом водорода состоит из одного протона и одного соединённого с ним электрона. При этом электрон вращается вокруг протона не по одной и той же орбите, как Луна вокруг Земли, а занимает одну из многих орбиталей, каждая из которых обладает собственной энергией. В результате существует вероятность нахождения электрона на одном из энергетических уровней, рассчитать которую для большинства атомов очень трудно. Но атом водорода является редкой квантовой системой, в которой энергетические уровни поддаются точному измерению. Поэтому, применив к нему вариационный подход, студенты могут сравнить результаты с правильным значением и определить погрешность своих расчётов.

Каково же было удивление физика, когда во время решения задачи, он обнаружил необычную тенденцию – ошибка вариационного подхода составила 15% для основного состояния атома, 10% для его первого энергетического уровня и последовательно уменьшалась по мере перехода на более высокие уровни. Это сразу показалось странным, потому что обычно вариационный подход даёт точные результаты для самых низких энергетических уровней.

Тогда Хаген обратился за помощью к математику Тамар Фридман (Tamar Friedmann). Она провела дополнительные расчёты и доказала, что для орбиталей, по которым электрон движется вокруг ядра с большим моментом инерции, соотношение приблизительных и точных значений энергии может быть описано с помощью гамма-функции. По мере роста момента инерции гамма-функция стремиться к единице, объясняя всё более точные значения вариационного подхода по мере перехода на более высокий энергетический уровень. Но главное оказалось, что эта зависимость может быть описана той самой формулой Валлиса для числа Пи.

"Я даже подпрыгнула от неожиданности, когда мы получили формулу Уоллиса из уравнений для атома водорода, – рассказывает Фридман. – То, что чисто математическая формула 17-го века характеризует физическую систему, которая была обнаружена 300 лет назад, является удивительно красивой связью между физикой и математикой".

Учёные сходятся во мнении, что сам факт обнаружения математической формулы в природе атома крайне необычен и интересен, однако не стоит искать в этом событии слишком глубокий смысл. Специалисты считают, что результаты исследования, опубликованные в издании Journal of Mathematical Physics, важны для изучения математических свойств гамма-функций, но не несут ничего нового для квантовой физики.