Оксфордский физик Тимоти Палмер: квантовая механика ошибается, потому что построена на вымышленных иррациональных числах

Квантовая механика работает. Её предсказания сбываются в экспериментах с точностью, которой позавидовала бы любая другая область физики. Но работает ли она потому, что верна? Или потому, что математики — удобная выдумка, скрывающая фундаментальную ошибку?

Тимоти Палмер, профессор Оксфордского университета, утверждает: квантовая механика построена на математическом фикте. На континууме действительных чисел. На иррациональных числах вроде квадратного корня из двух, которые нельзя записать без бесконечной последовательности цифр.

Палмер предлагает выбросить континуум из физики. Заменить его дискретными рациональными числами. И тогда, обещает он, все загадки квантового мира — кот Шрёдингера, одновременно живой и мёртвый; «жуткое дальнодействие» Эйнштейна, где выбор измерения на одном конце галактики мгновенно меняет состояние на другом, — исчезнут.

Почему континуум — проблема?

В V веке до нашей эры пифагореец Гиппас Метапонтский доказал, что квадратный корень из двух невозможно выразить отношением двух целых чисел. За это открытие, по одним версиям, его утопили последователи Пифагора, по другим — боги. Сегодня человечество привыкло к иррациональным числам. Но это привычка, как считает Палмер, опасная.

С континуумом связаны парадоксы. Математики Стефан Банах и Альфред Тарский в XX веке показали: если воспринимать континуум буквально, твёрдую сферу можно разделить на пять частей и собрать из них сферу вдвое большего размера. В физическом мире это невозможно. Что-то идёт не так, когда континуум принимают слишком всерьёз.

Однако для физиков XIX и XX веков континуум был удобен. Без него не было бы дифференциального и интегрального исчисления Ньютона и Лейбница. Не было бы уравнений гидродинамики Навье — Стокса, уравнений электромагнетизма Максвелла, общей теории относительности Эйнштейна. И когда Эрвин Шрёдингер формулировал свою версию квантовой механики, он использовал тот же математический аппарат.

Аксиомы Джона фон Неймана, ставшие стандартом квантовой теории, закрепили континуум в её основании. Состояние квантовой системы описывается вектором в непрерывном гильбертовом пространстве. Вектор движется непрерывно. И только в момент измерения — скачок.

Палмер напоминает: Давид Гильберт, чьим именем названо это пространство, утверждал, что «бесконечное нигде не встречается в реальности». В 1925 году в лекции «О бесконечном» он доказывал, что бесконечность — необходимая, непротиворечивая математическая идея, но не физическая реальность. И вот фон Нейман строит физическую теорию на этой идее.

Рациональная квантовая механика (RaQM)

В теории Палмера слово «рациональная» имеет двойной смысл. С одной стороны, она оперирует рациональными числами. С другой — её интерпретация полностью постижима человеческим умом. Никаких котов, одновременно живых и мёртвых.

RaQM проще стандартной квантовой механики. В стандартной теории правило Борна — связь вероятности исхода измерения с квадратом амплитуды — вводится аксиоматически. Почему оно работает? Ответа нет. В RaQM правило Борна возникает как следствие того, как в дискретной теории определяются комплексные числа.

Комплексное число включает в себя мнимую единицу i — квадратный корень из минус единицы. В континуальной теории i можно определить только аксиоматически. В дискретной теории i определяется конструктивно. Палмер показывает это на простой модели: пара битов (a,b), где a и b равны либо 1, либо -1. Оператор i, действующий на эту пару как i(a,b) = (-b,a), даёт при двукратном применении i²(a,b) = (-a,-b) = -(a,b). i оказывается квадратным корнем из минус единицы, но его происхождение прослеживается наглядно.

В RaQM состояние одного кубита — базового элемента квантового компьютера — представляется в виде битовой строки огромной длины. Частотные характеристики этой строки автоматически удовлетворяют правилу Борна. Оно не постулируется — оно возникает.

Тест на неравенствах Белла

В 2022 году Нобелевскую премию получили Ален Аспе, Джон Клаузер и Антон Цайлингер за экспериментальное нарушение неравенств Белла. Средства массовой информации объявили: Эйнштейн был неправ, мир нелокально каузален, выбор измерения на одной стороне галактики мгновенно влияет на результат на другой.

Палмер считает этот вывод необоснованным.

Эксперимент Белла сравнивает корреляции между запутанными фотонами при разных ориентациях поляризаторов. В реальном эксперименте четыре подансамбля фотонов измеряются с четырьмя разными настройками — скажем, в понедельник, вторник, среду и четверг. Чтобы вывести неравенство Белла, необходимо предположить, что для каждой пары фотонов существуют определённые результаты измерений при всех четырёх настройках одновременно. Даже для тех настроек, которые в реальности не применялись.

Физики обычно оправдывают это предположение свободой выбора: экспериментаторы могли бы выбрать любые настройки в любой день. Значит, контрфактические миры имеют определённые результаты.

В RaQM, утверждает Палмер, это рассуждение не работает. Для каждой запутанной пары фотонов по крайней мере одна из трёх контрфактических настроек обязательно связана с иррациональным числом. В теории, где иррациональные числа изгнаны, исходы измерений в таких «иррациональных мирах» просто не определены. И это не имеет отношения к свободе выбора. Экспериментаторы физически не могут выставить поляризаторы под иррациональным углом — только с некоторой номинальной точностью.

Нарушение неравенств Белла, по Палмеру, доказывает не нелокальность, а холистичность квантовой физики. Законы квантового мира более целостны, чем классические. В этом выводе нет ничего сверхъестественного.

Предсказание: квантовые компьютеры упрутся в потолок

Любая новая теория должна быть проверяема. RaQM даёт предсказание. Количество информации, которое может храниться в одном кубите, в этой теории конечно. Палмер оценивает его примерно в 2⁴⁰⁰ бит — колоссальное число, но не бесконечное. Если связать 400 кубитов, размерность гильбертова пространства достигает 2⁴⁰⁰. Дальше, при N больше 400, в квантовом состоянии просто не хватит битов информации, чтобы покрыть всё гильбертово пространство.

Это значит, что квантовые алгоритмы, использующие всё гильбертово пространство, перестанут работать на компьютерах с более чем 400 кубитами. К таким алгоритмам относится, например, алгоритм Шора, предназначенный для взлома современных криптографических кодов.

В ближайшие годы должны появиться квантовые компьютеры достаточной мощности, чтобы попытаться взломать эти коды. Разработчики исходят из предположения, что квантовая механика остаётся верной в пространствах огромной размерности. Палмер предсказывает: она потерпит крах. Квантовые компьютеры никогда не взломают криптографию.

Если предсказание сбудется, это станет первым экспериментальным опровержением квантовой механики за более чем столетнюю историю. И тогда главным применением квантовых компьютеров станет не взлом кодов, а поиск новых теорий физики — теорий, объединяющих квантовую механику с гравитацией.

Гильберт утверждал, что бесконечности нет в реальности. Палмер предлагает наконец отнестись к этому утверждению всерьёз. И выбросить континуум из физики. Вопрос лишь в том, кто прав: столетняя теория, блестяще работающая в экспериментах, или её оксфордский критик, утверждающий, что в её фундаменте лежит ошибка? Ответ дадут квантовые компьютеры. И он, возможно, не за горами.