Упругие плоские поверхности научили принимать заданную трехмерную форму

Американские инженеры разработали численный метод, который позволяет с помощью изменения механических свойств преобразовывать плоские поверхности в любые трехмерные поверхности заданной формы. Для этого ученые представили одну поверхность в виде двух слоев с различными механическими свойствами. Результаты исследования опубликованы в Proceedings of the National Academy of Sciences.

В природе существует много объектов, которые изначально имеют довольно простую, часто плоскую форму, а потом в результате какого-то внешнего воздействия вырастают и принимают при этом сложную трехмерную форму. При этом образованная форма зависит от окружающих условий (в частности, температуры, света и влажности). Одним из примеров таких объектов являются цветы, форма которых усложняется по мере роста, и листья, которые подстраивают свою форму таким образом, чтобы наиболее эффективно поглощать солнечный свет.

Чтобы реализовать подобные механизмы в искусственных системах, нужно каким-то образом задать алгоритм для преобразования начальной формы в какую-то другую, определенную заранее или зависящую от внешних условий. Уже сейчас существует довольно большое количество успешных экспериментальных попыток по созданию материалов, которые могут сами изменять свою форму, но они пока не подкреплялись никакими теоретическими моделями.

В своей работе американские инженеры предложили алгоритм, с помощью которого можно из плоской фигуры «вырастить» трехмерную поверхность нужной формы, изменяя ее механические свойства. Для этого такую плоскую фигуру исследователи рассмотрели как систему, состоящую из двух склеенных упругих слоев, которые по-разному реагируют на внешнее воздействие. Например, каждый из этих слоев может обладать ортотропными свойствами (то есть по-разному реагировать на деформацию в различных направлениях). Тогда, ориентируя эти слои друг относительно друга правильным образом и изменяя число степеней свободы, можно заставить поверхность сворачиваться, образуя сложную трехмерную форму.

Исследователи предположили, что если правильным образом изменять анизотропию каждого из слоев, то можно из участка плоской поверхности «вырастить» любую топологически идентичную ей трехмерную поверхность.

   

Для того, чтобы показать, что такой механизм может работать, ученые сначала математически доказали, что действительно для любой поверхности в трехмерном пространстве существует двухслойная плоская поверхность, в которой упругие свойства слоев приводят при сворачивании к заданной трехмерной форме. Сворачивание плоской поверхности при этом происходит из-за стремления прийти к наименее напряженному состоянию с минимальной упругой энергией.

Чтобы подтвердить этот математический вывод, ученые промоделировали такую задачу для нескольких трехмерных поверхностей сложной формы. В качестве примеров они использовали формы цветка львиного зева, который вырастал из цилиндра, лица Макса Планка, которое вырастало из плоского диска, и одной из излучин реки Колорадо, которая вырастала из прямоугольника.

Для каждой из этих систем ученым удалось найти нужное соотношение между деформациями в разных направлениях так, чтобы образовалась нужная форма.

По словам ученых, пока из-за сложной геометрии на вычисление подобных задач приходится тратить очень много времени даже на мощных суперкомпьютерах. Тем не менее уже сейчас очевидны перспективы использования предложенного алгоритма для создания материалов, которые сами принимают нужную форму, например, для механических или оптических элементов роботизированных установок.

Чтобы предложенные теоретические модели можно было визуализировать или реализовать на практике, ученые используют так называемую 4d-печать — печать трехмерных объектов с памятью формы. Для нее инженеры разрабатывают специальные материалы со слоистой структурой и новые литографические методы, такие как проекционная микростереолитография.