Квантовое решение головоломки 18-го века

243-летняя математическая головоломка Эйлера, которая, как известно, не имеет классического решения, оказалась разрешимой, если объекты, расположенные в квадратной сетке, демонстрируют квантовое поведение. Она заключается в том, чтобы найти способ расположить объекты в сетке так, чтобы их свойства не повторялись ни в одной строке или столбце.

Математическая задача, не имеющая классического решения, оказывается решаемой с помощью квантовых правил.

Математическая головоломка в стиле судоку, которая, как известно, не имеет классического решения, оказалась разрешимой, если объекты, расположенные в квадратной сетке, проявляют квантовое поведение [1]. Задача, поставленная швейцарским математиком Леонардом Эйлером в 1779 году, заключается в поиске способа расположить объекты в сетке так, чтобы их свойства не повторялись ни в одной строке или столбце. Квантовое решение может оказаться полезным для решения проблем в области квантовой обработки информации, например, для создания алгоритмов исправления ошибок в квантовых вычислениях.

Эйлер представил себе группу из 36 армейских офицеров, по шесть из каждого из шести полков, причем каждый офицер имеет одно из шести различных званий. Можно ли расположить их в форме квадрата так, чтобы ни один полк или звание не повторялись ни в одной строке или столбце?

Решения могут быть найдены для всех квадратов (3×3, 4×4 и так далее, при условии соответствующего количества офицеров), кроме 2×2 и случая Эйлера 6×6. В 1900 году невозможность решения задачи 6×6 была доказана французским математиком Гастоном Тарри. Но Сухаил Ратер из Индийского технологического института Мадраса (IITM), Адам Бурхардт из Ягеллонского университета в Польше и их коллеги задались вопросом, можно ли решить задачу, если объекты будут не классическими, а квантово-механическими. Тогда объекты можно было бы помещать в комбинации (суперпозиции) различных возможных состояний: один офицер мог бы быть, скажем, частично полковником из красного полка и частично лейтенантом из синего полка.

Эта квантовая версия требует уточненного определения того, когда два таких состояния можно считать "разными". Квантовые суперпозиции могут быть представлены в виде векторов в пространстве возможных состояний компонентов, и команда предположила, что две суперпозиции являются взаимоисключающими, если их векторы перпендикулярны (ортогональны) друг другу.

Исследователи использовали компьютерный алгоритм для поиска таких квантовых решений проблемы "36 офицеров" Эйлера. Они начали с классической конфигурации, которая имела только несколько повторений в строках и столбцах, и попытались улучшить ее, добавив суперпозицию. Они обнаружили, что полное квантовое решение задачи 6×6 существует для определенного набора суперпозиционных состояний.

Суперпозиция двух квантовых объектов часто подразумевает, что они запутаны: их свойства взаимозависимы и коррелированы. Если, скажем, один квантовый офицер оказывается (при проверке) полковником, то другой, с которым он запутался, может оказаться лейтенантом. Квантовое решение требует сложного набора переплетений между офицерами, напоминающего переплетения, создаваемые между квантовыми битами (кубитами) в квантовых вычислениях.

Исследователи поняли, что их решение тесно связано с проблемой квантовой обработки информации, включающей "абсолютно максимально запутанные" (AME) состояния, в которых корреляция между любой парой запутанных кубитов в группе настолько сильна, насколько это вообще возможно. Такие состояния важны для квантовой коррекции ошибок, когда ошибки в квантовом вычислении должны быть идентифицированы и исправлены без фактического считывания состояний кубитов. Состояния AME также важны для квантовой телепортации, когда квантовое состояние одной частицы в запутанной паре воссоздается в другой частице.

Кубиты имеют два возможных состояния считывания, 0 и 1, но квантовые объекты в принципе могут иметь три (кутриты) и более состояний. Теоретики вывели математические выражения для состояний AME для групп квантовых объектов разного размера, но состояние AME для четырех объектов с шестью состояниями (так называемые квекс-объекты, например, квантовые игральные кости) оказалось труднодостижимым. Ратер и его коллеги обнаружили, что их квантовое решение задачи Эйлера 6×6 показывает, как можно запутать четыре квантовые игральные кости, чтобы также получить это так называемое решение AME(4,6). Отсутствие состояния AME(4,6) озадачивало теоретиков, но решение требует подхода, который ранее не рассматривался. Результат показывает новый принцип проектирования для создания состояний с запутанными частицами, что является важным элементом кодов с коррекцией ошибок, говорит член команды Арул Лакшминараян из IITM.

Нахождение состояния AME(4,6) решает "проблему, которая изучалась несколькими исследователями в течение последних нескольких лет", - говорит теоретик квантовой информации Барбара Краус из Университета Инсбрука в Австрии. Квантовый технолог Хой-Квонг Ло из Университета Торонто говорит, что работа потенциально значима. "Аргумент выглядит правдоподобным, и если результат верен, я думаю, что он очень важен, с последствиями для квантовой коррекции ошибок". Но он признает, что интуитивно нелегко понять, почему случай шести состояний оказывается таким особенным, как для проблемы Эйлера, так и для состояний АМЕ.